Probleme interesante de matematică Numărul X se poate scrie ca sumă de Y pătrate perfecte (clasa a 5-a)

1. Arătați că 29²⁰⁰¹ se poate scrie ca o sumă de 3 pătrate perfecte.
2. Arătați că 100²⁰¹³ se poate scrie ca o sumă de două pătrate perfecte.
3. Arătați că 25²⁰¹¹ se poate scrie ca o sumă de două pătrate perfecte.
4. Scrieți numărul 65²⁰⁰¹ ca sumă de două pătrate perfecte în două moduri.

In general, aceste probleme intimidează prin faptul că vedem un număr la o putere foarte mare. Dar, odată ce știm metoda de rezolvare generală, ele vor deveni foarte ușoare.

Teorie importantă:
x(a+b) = x*a + x*b
x(a-b) = x*a – x*b
(x*y)^z = x^z * y^z și deci x^z*y^z = (x*y)^z

Să luăm prima problemă:
Arătați că 29²⁰⁰¹ se poate scrie ca o sumă de 3 pătrate perfecte.
– în primul rând observăm care este baza – în acest caz este 29;
– putem să scriem 29 ca sumă de 3 pătrate perfecte (așa cum cere problema)?
* dacă DA, atunci din 29²⁰⁰¹ vom „rupe” un 29;
* dacă NU, vor trebui făcute alte artificii matematice (la problemele obișnuite NU este cazul);
– în cazul nostru, 29 = 2² + 3²+4², deci vom putea „rupe” un 29 din 29²⁰⁰¹
– vom scrie deci: 29²⁰⁰¹ = 29 * 29²⁰⁰⁰
– îl înlocuim pe 29 cu suma de pătrate perfecte => 29²⁰⁰¹ = 29 * 29²⁰⁰⁰ = (2²+3²+4²)*29²⁰⁰⁰
– desfacem paranteza: (2²+3²+4²)*29²⁰⁰⁰ = 2²*29²⁰⁰⁰ +3²*29²⁰⁰⁰+4²*29²⁰⁰⁰
– aducem totul la exponent 2 (sau 2*x): 2²*29²⁰⁰⁰ +3²*29²⁰⁰⁰+4²*29²⁰⁰⁰ = 2²*29^1000*2 + 3²*29^1000*2 + 4²*29^1000*2
– scriem toata expresia ca sumă de pătrate perfecte, adică exact ce ne cere problema: (2*29¹⁰⁰⁰)² + (3*29¹⁰⁰⁰)² + (4*29¹⁰⁰⁰)²

Vă invit pe voi să exersați metoda, rezolvându-le pe celelalte 3 propuse mai sus.

SUCCES!